Geometria Analítica

Criada por René Descartes (em latim Renatus Cartesius), filósofo e matemático francês e por Pierre de Fermat, matemático francês, a geometria analítica é uma importante ferramenta da pesquisa matemática, pois ela permite uma frutífera associação de dois dos seus grandes campos de estudo: a geometria e a álgebra. Com isso, abre-se os caminhos para estudar diversos entes geométricos, reproduzidos a partir de sua expressão algébrica, para enfim chegar às inferências matemáticas pretendidas.

 

Plano Cartesiano

Na geometria analítica, trabalha-se com um sistema de eixos perpendiculares com coordenadas chamados de plano cartesiano. Com este sistema de localização, podemos encontrar qualquer ponto que se queira, sem possibilidade de contradição, pois cada uma das coordenadas cartesianas corresponde a um e somente um ponto no plano cartesiano.

Observe o esquema de um plano cartesiano:

Assim, o plano cartesiano é formado pelos eixos x e y, chamamos respectivamente de eixos das abscissas e das ordenadas. O ponto (0,0) chamado de origem é o ponto de intersecção dos eixos.

Para localizar, por exemplo, os pontos A(2,3), B(-3,4), C(-2,-2) e D(1,-4), temos:

  

Distância entre dois pontos

Em geometria analitica, para encontrarmos a distancia entre dois pontos quaisquer, utilizamos dentro da geometria plana da mais conhecida relação métrica no triangulo retângulo: o teorema de Pitágoras.

Observe:

Como se trata de um triângulo retângulo, podemos utilizar o teorema de Pitágoras:

Assim, qualquer que seja a posição dos pontos A e B, podemos descobrir a distância entre eles através da fórmula supracitada.

 

Ex.: Prove que um triângulo com vértices A(0,5),  B(3,-2) e C(-3,-2) é isósceles.

Triangulo isósceles é aquele que tem dois lados de medidas iguais. Então:

Como d_AB = d_AC   e d_AB é diferente de d_BC , o triangulo é isósceles.

Ex.: Num triângulo ABC, sendo A(4,3), B(0,3), C um ponto do eixo das abcissas e AB=AC, determine C.

Como C está no eixo das abcissas, temos que C(x,0). Além disso, o segmento AB é igual ao segmento AC. Então:

d_AB   =  d_AC

 Portanto, C(2,0).

Condição de alinhamento de três pontos

Dizemos que três pontos distintos estão alinhados, quando existe uma reta r que passa por estes três pontos. Em geometria analítica, descobrimos se os três pontos quaisquer A (d,e), B(f,g) e C(h,i) estão alinhados, quando o determinante da matriz formada pelas coordenadas destes pontos for igual a 0.

Observe:

O que implica na seguinte equação:  dg + eh + fi – hg – id – fe = 0

Ex.: Determine o ponto C, sabendo que ele pertence ao eixo das ordenadas e está alinhado com A(3,2) B(5,4).

Do fato do ponto C está no eixo das ordenadas, temos que C(0,y).

Daí, temos:

3x4x1 + 2x1x0 + 1x5xy – 0x4x1 – yx1x3 – 1x5x2 = 0

12 + 5y -3y -10 = 0

2y + 2 =0

y = -1

Portanto, C(0,-1)

Ex.: Sabendo que P(a,b), A(0,3) e B(1,0) estão alinhados e P, C(1,2) e D(0,1) também são alinhados, determine as coordenadas de P.

ax3x1 + bx1x1 + 1x0x0 – 1x3x1 – 0x1xa – 1x0xb = 0

3a + b – 3 = 0

3a + b = 3

 

ax2x1 + bx1x0 + 1x1x1 – 0x2x1 – 1x1xa – 1x1xb = 0

2a + 1 – a – b = 0 

b = a + 1

Substituindo a expressão resultante do segundo determinante, na expressão do primeiro determinante, temos:

Equação geral da reta

Na geometria euclidiana, dois pontos definem uma reta. Na geometria analítica, conhecendo as coordenadas de dois pontos A e B na reta r e a noção de condições de alinhamento de três pontos distintos, podemos determinar uma equação geral desta reta r.

Ex.: Qual é a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3)?

Vamos utilizar o ponto P(a,b) pertencente a reta r.

ax4x1 + bx1x2 + 1x1x3 – 2x4x1 – 3x1xa – 1x1xb = 0

4a+ 2b +3 – 8 – 3a – b = 0

a – b – 5 = 0

Assim, encontrando a equação geral da reta, podemos verificar se um ponto pertence ou não a esta determinada reta. Pois, se o ponto pertence a reta a igualdade se mantém. No caso da equação geral a – b – 5 = 0, temos que o ponto C(10,5) pertencem a reta, já o ponto D(3,-1) não pertencem. Vejamos:

    

Referências Bibliográficas.

DANTE, Luiz Roberto.Matemática: Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2004.336p. V.3.

SANTOS, Carlos Alberto Marcondes dos; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio. Matemática.São Paulo: Ática, 2000. 423p. (série novo ensino médio).

Lógica Matemática

1. Conceito de Proposição:
Definição: todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um
pensamento de sentido completo, ou seja, uma oração declarativa que afirma
ou exprime juízo sobre determinado ente e que podemos classificá-la como
verdadeira ou falsa.

Exemplos:
a. Buenos Aires é a capital da Argentina.
b. Pelé é piloto de formula 1.
c. O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos.
d. 5 > 8.

São dois os axiomas adotados pela lógica matemática, as saber:
a. Princípio da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira
e falsa ao mesmo tempo.
b. Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é
falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

2. Valor Lógico de uma Proposição:
Definição: chama-se valor lógico de uma proposição a Verdade se a
proposição é verdadeira e a Falsidade se a proposição é falsa, representada
respectivamente pelas letras V e F.
Atentemos para o fato do que nos diz os axiomas a e b:
Toda proposição tem um, e um só, dos valores lógicos V e F.
Observemos que os exemplos a e c da seção 1 são Verdadeiros enquanto que
b e d são falsos.
Mais exemplos:
a. 2 > 1. ( V )
b. Sócrates foi um grande filósofo alemão. ( F )

3. Proposições Simples e Proposições Compostas:
Definição: chama-se proposição simples aquela que não tem nenhuma outra
proposição como parte integrante de si mesma. São designadas pelas letras
minúsculas do alfabeto latino.
Exemplos.
q: 13 é um número ímpar.
p: Maria estuda pedagogia.
r: A Lua é satélite da Terra.

Definição: chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de
duas ou mais proposições. São comumente designadas pelas letras
maiúsculas do alfabeto latino.
Exemplos.
P: Pitágoras é careca e Maria é estudante de pedagogia.
Q: Se João é careca então é feliz.
R: Ou Maria é estudante de pedagogia ou 4 é número par.
Em si tratando de uma proposição composta, a determinação do seu valor
lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes,
se faz com base no seguinte princípio:

O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos
valores das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente
determinado.

4. Tabela Verdade:
Partindo-se do Princípio do Terceiro Excluído que admite que para o valor
lógico de uma proposição existem apenas duas possibilidades, verdadeira ou
falsa, e observando o Princípio de determinação do valor lógico de uma
proposição composta mostrado na seção anterior, podemos conhecer o valor
lógico de uma proposição composta recorrendo a um dispositivo denominado
tabela verdade, na qual figuram todos os valores lógicos da proposição
composta correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos
às proposições simples componentes.
Por exemplo:
Proposição composta formada por duas proposições simples

	p	q
1	V	V
2	V	F
3	F	V
4	F	F

Proposição composta formada por três proposições simples

	p	q	r
1	V	V	V
2	V	V	F
3	V	F	V
4	V	F	F
5	F	V	V
6	F	V	F
7	F	F	V
8	F	F	F

Na tabela verdade, cada linha a partir da linha 1, representa uma das possíveis
atribuições de valores lógicos das proposições simples componentes, formando
assim todos os arranjos possíveis. Observemos também que o número de
linhas da tabela está em função do número de proposições simples,
obedecendo à seguinte lei:

2^n, ∀ n ∈ ℕ e n representando número de proposições simples componentes

5. Conectivos e Operações Lógicas Sobre Proposições.
Definição: chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas
proposições a partir de outras:
P: O número 3 é impar e o número 6 é par.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles.
R: Não está nublado.
S: Se está nevando então está fazendo frio.
T: O triângulo ABC e eqüilátero se, e somente se, é eqüiângulo.
As palavras grifadas são os conectivos em Lógica Matemática. A seguir
veremos cada um deles e como se procede às respectivas operações:

5.1 Negação
Definição: chama-se negação de uma proposição p a proposição representada
por “~p”, cujo valor lógico é o contrário do valor lógico da proposição p, ou seja,
quando p é verdade, ~p é falsa e vice-versa.
Tabela Verdade para Negação:

p	~p
V	F
F	V

5.2 Conjunção
Definição: chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando a proposição
p e a proposição q são verdadeiras e a falsidade nos demais casos.
Simbolicamente a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a
notação “p ∧ q” que se lê “p e q”.
Tabela Verdade representativa da Conjunção:

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Exemplos:
Sejam as proposições simples:
p: A neve é branca. (V)
q: 2 < 5. (V)
r: 3,14 > 4. (F)
s: Fermat era médico. (F)
Então as proposições compostas a seguir segundo a tabela verdade para
conjunção, ficam assim:
P = p ∧ q: A neve é branca e 2 < 5. (V)
Q = r ∧ s: 3.14 > 4 e Fermat era médico: (F)
R = q ∧ r: 2 < 5 e 3,14 > 4. (F)

5.3 Disjunção
Definição: chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição
representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos
uma das proposições p e q são verdadeiras e a falsidade (F) quando as
proposições p e q são ambas falsas. Denotaremos simbolicamente a disjunção
por “p ∨ q”, que se lê “p ou q”.
Observando a definição, temos a seguinte tabela verdade para a
disjunção:

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Exemplos:
Sejam as proposições simples:
p: A neve é branca. (V)
q: 7 é quadrado perfeito. (F)
r: Brasília é a capital do Brasil. (V)
s: O sol gira em torno da Terra. (F)
Então as proposições compostas a seguir, formada pelas proposições simples
anteriores, ficam assim segundo a tabela verdade da disjunção:
P = p ∨ q. (V)
Q = q ∨ r. (V)
R = q ∨ s. (F)
S = p ∨ r. (V)

5.4 Condicional
Definição: chama-se condicional uma proposição representada por “se p então
q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é
falsa, e a verdade (V) nos demais casos. Em símbolos, a condicional de duas
proposições p e q indica-se por “p → q” que se lê também das seguintes
formas:
i. p é condição suficiente para q.
ii. q é condição necessária para p.
Assim, temos a seguinte tabela verdade:

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Exemplos:
Sejam as seguintes proposições simples:
p: 7 é primo. (V)
q: 5 é par. (F)
r: Salvador é a capital da Bahia. (V)
s: o Sol gira em torno da Terra. (F)
Sejam agora as proposições compostas formadas a partir das proposições
simples anteriores:
P = p → q. (F)
Q = s → r. (V)
R = q → s. (V)
S = r → p. (V)

5.5 Bicondicional
Definição: chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional um
proposição representada por “p se, e somente se, q” cujo valor lógico é a
verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a
falsidade (F) nos demais casos.
Simbolicamente, a bicondicional indica-se por “p ↔ q” e pode ser lida também
das seguintes formas:
i. p é condição necessária e suficiente para q.
ii. q é condição necessária e suficiente para p.
Segue a tabela verdade para a condicional:

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemplos:
Sejam as proposições simples da seção anterior.
Sejam agora as proposições compostas formadas a partir das simples:
P = p ↔ q. (F)
Q = s ↔ r. (F)
R = q ↔ s.(V)
S = r ↔ p. (V)

Exemplos Gerais:
(CETRO / FUNAI – 2010). Sabe-se que Aline estar viajando é condição
necessária para Sandra trabalhar e condição suficiente para Virginia sair com
Lineu. Sabe-se, também, que Virgínia sair com Lineu é condição necessária e
suficiente para a Paula sair com Jean. Assim, quando Paula não sai com Jean:
A. Aline não viaja, Sandra trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
B. Aline viaja, Sandra não trabalha e Virgínia sai com Lineu.
C. Aline não viaja, Sandra não trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
D. Aline viaja, Sandra trabalha e Virgínia não sai com Lineu.
E. Aline não viaja, Sandra trabalha e Virgínia sai com Lineu.

Para este tipo de problema, muito comum em concursos, o primeiro passo para
compreendê-lo é identificar as proposições simples e compostas bem como
nomeá-las. Assim, temos:
p: Aline está viajando.
q: Sandra trabalha.
r: Virgínia sai com Lineu.
s: Paula sai com Jean.
De acordo com o enunciado, faremos agora a representação simbólica das
proposições compostas:
P: q → p
Q: p → r
R: r ↔ s
 
Faremos por partes:
Como R: r ↔ s é uma bicondicional, é verdadeira apenas se r e s são ambas
verdadeiras ou ambas falsas. Considerando as proposições p, q, r e s
verdadeiras, se Paula não sai com Jean, temos a negação da proposição s, ou
seja:

~s: Paula não sai com Jean.

Assim, para R: r ↔ s continuar verdadeira (verificar tabela verdade da
bicondicional) devemos então negar r, ou seja:

~r: Virgínia não sai com Lineu.

De cara observamos a eliminação das alternativas B e E, pois afirmam que
Virgínia sai com Lineu.

Continuando, temos:
Como Q: p → r é verdadeira, se tivermos a negação de r, necessariamente
temos que negar p para que Q: p → r continue sendo verdadeira, pois Q: p → r
é uma condicional (verificar tabela verdade para condicional), Assim:

~p: Aline não está viajando.

Mais uma vez eliminamos uma outra alternativa: a letra D que afirma que Aline
está viajando.

Dando seqüência, temos então:
Como P: q → p é uma condicional verdadeira, se tivermos a negação de p,
então devemos negar q, pois caso contrário P: q → p seria falsa (observar
tabela verdade da condicional), ou seja:

~q: Sandra não trabalha.

Assim, nos resta a opção C, que é no caso a opção correta




Referência Bibliográfica.

ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 1986. 203 p.

Dicas sobre ensino de logaritmos.

Logaritmos para muitos alunos é um conteúdo de difícil compreensão, provavelmente isso se deva ao fato de que não o utilizamos ele comumente no cotidiano. Talvez esse seja um dos motivos de não despertar muito interesse pelos alunos e se o professor simplesmente passar aquele monte de regras de potências e mudanças de base sem contextualizar nada o mais provável é que o aluno não se interesse muito pelo conteúdo. Sendo assim, este texto tem como objetivo dar algumas sugestões para que o professor possa estar incorporando à sua explanação para que o conteúdo não fique simplesmente jogado sem que o aluno veja utilidade alguma para aquilo.

Acredito que a primeira pergunta que deva vir à mente de alguém que está tendo o primeiro contato com logaritmos seja o porquê de terem o inventado. Sendo assim cabe aqui uma breve explanação sobre sua origem.

Os logaritmos foram criados por John Napier (1550-1617), natural da cidade de Edimburgo na Escócia. Ao contrário do que possa parecer, os logaritmos foram criados como um método de simplificar cálculos de multiplicação. Napier antes dos logaritmos criou um dispositivo de multiplicação conhecido hoje como “ossos de Napier”. Também foi quem desenvolveu as primeiras tábuas de logaritmos.

Para compreendermos como os logaritmos são utilizados para simplificar os cálculos temos que lembrar de suas propriedades. Duas das propriedades dos logaritmos são essas abaixo:

Sendo assim se você quiser encontrar o valor da multiplicação entre um valor “a” e um valor “b” basta somar o valor do logaritmo de “a” com o logaritmo de “b”, ambos em uma base “x” e o resultado será o logaritmo da multiplicação dos números. De forma análoga, partindo da segunda propriedade podemos resolver operações de divisão.

Geralmente as tabelas de logaritmos estão na base 10 (logaritmos decimais) como nessa tabela:

Utilizando esta tabela se quisermos, por exemplo, obter o valor da multiplicação 8x9 basta somar o logaritmo de 8 que vale 0,90309 com o logaritmo de 9 que vale 0,954243 obtendo o valor 1,857333 que corresponde ao logaritmo de 72 que é o resultado da multiplicação. Claro que para simplificar mais os cálculos geralmente usam-se tabelas com 4 casas decimais.

Sendo assim com uma tabela de logaritmos dá pra se fazer multiplicações e divisões serem reduzidas para operações de soma e subtração. Partindo dessa idéia surgiram as réguas de cálculo. Hoje em dia essa aplicação dos logaritmos não tem muita importância, pois podemos fazer cálculos muito mais rápido utilizando calculadoras digitais, no entanto os logaritmos continuaram a ter várias outras aplicações. Para mostrar algumas das várias aplicações dos logaritmos estaremos dando algumas sugestões que podem ser passadas de forma simples e que não são de difícil compreensão para o aluno de ensino médio.

O pH de uma solução.

Ao se falar sobre o potencial hidrogeniônico o professor de matemática pode fazer um trabalho interdisciplinar com o professor de química, mostrando uma das aplicações dos logaritmos e ao mesmo tempo fazendo um gancho com o conteúdo de química.

O potencial hidrogeniônico é uma grandeza que serve pra identificar se uma substância é ácida ou básica, ele foi introduzido em 1909 pelo bioquímico dinamarquês Søren Peter Lauritz Sørensen e é definido como sendo:

Nessa fórmula o  representa a concentração molar hidrogeniônica, dessa forma se uma solução apresentar um pH menor do que 7 ela é considerada ácida e se for maior que 7 ela é uma solução básica. Se o pH for 7 diz-se que a solução é neutra. Teoricamente o pH varia entre 0 e 14, porém esses não são os valores limites podendo, em alguns casos, ter valores além desses extremos.

Partindo pra um exemplo prático:

Temos que: